Sapiens Test

3 min czytania

Paradoks Monty’ego Halla: dlaczego gołębie wygrywają, a ludzie nie

W 2010 roku sześć gołębi pokonało grupę studentów w zagadce z prawdopodobieństwa, przez którą kiedyś blisko tysiąc osób z doktoratem pisało oburzone listy do gazety. Zagadkę da się opowiedzieć w dziesięć sekund.

Zagadka

Jesteś w teleturnieju. Przed tobą troje zamkniętych drzwi. Za jednymi stoi samochód, za dwoma pozostałymi kozy. Wybierasz drzwi numer 1. Prowadzący, który wie, gdzie jest samochód, otwiera drzwi numer 3 i pokazuje kozę. Potem pyta: zostajesz przy jedynce czy zmieniasz na dwójkę?

Większość ludzi mówi, że to bez znaczenia. Dwoje drzwi, jeden samochód, pół na pół. Prawidłowa odpowiedź brzmi: zmień. Zmiana wygrywa samochód dwa razy na trzy.

Listy

Statystyk Steve Selvin opisał tę zagadkę w 1975 roku w dwóch listach do „The American Statistician” i nazwał ją od Monty’ego Halla, prowadzącego amerykański teleturniej „Let’s Make a Deal”. Sławna stała się we wrześniu 1990 roku, kiedy czytelnik wysłał ją do rubryki „Ask Marilyn”, którą Marilyn vos Savant prowadziła w magazynie „Parade”. Odpowiedziała: zmień.

Według jej szacunków redakcja dostała w tej sprawie około 10 tysięcy listów, w tym blisko tysiąc podpisanych przez osoby z doktoratem, i większość twierdziła, że to ona się myli. Paul Erdős, jeden z najpłodniejszych matematyków w historii, podobno nie dał się przekonać, dopóki kolega nie pokazał mu symulacji komputerowej.

Dlaczego zmiana wygrywa

Zapomnij na chwilę o otwartych drzwiach i spójrz na pierwszy wybór. Jest trafny raz na trzy razy. To się nie zmienia, cokolwiek prowadzący zrobi potem.

Czyli zostanie wygrywa raz na trzy razy, a zmiana dwa razy na trzy. Wybór prowadzącego nie jest przypadkowy. Za każdym razem, gdy omija jakieś drzwi, daje ci informację.

Łatwiej to poczuć przy większej liczbie drzwi. Wyobraź sobie, że jest ich 100. Wybierasz jedne. Prowadzący, który wie, gdzie jest samochód, otwiera 98 innych, za każdymi koza, i zostawia zamknięte tylko drzwi numer 57. Nadal zostajesz przy pierwszym wyborze?

Jeden szczegół ma znaczenie. Gdyby prowadzący nie wiedział, gdzie jest samochód, otworzył drzwi na chybił trafił i akurat pokazała się koza, szanse rzeczywiście byłyby pół na pół. Zagadka działa, bo on wie.

Gołębie

W 2010 roku Walter Herbranson i Julia Schroeder z Whitman College dali ten sam wybór sześciu gołębiom. Zamiast drzwi były trzy podświetlane przyciski, a zamiast samochodu ziarno. Gołąb dziobał jeden przycisk, jeden z pustych gasł, a ptak mógł dziobnąć ten sam przycisk jeszcze raz albo zmienić na drugi zapalony.

Pierwszego dnia gołębie zmieniały wybór w 36% prób. Trzydziestego dnia w 96%.

Badacze sprawdzili to samo na studentach, po 200 prób na osobę. W ostatnich 50 próbach studenci zmieniali wybór w około 66% z nich.

Dlaczego ptaki wygrały

Gołębie nie liczyły prawdopodobieństwa. Liczyły, co się opłaca. Zmiana dawała ziarno dwa razy częściej niż zostanie, więc zmieniały coraz częściej, aż robiły to prawie zawsze.

Ludzie zamiast tego rozumują, a to rozumowanie myli się w przewidywalny sposób. Dwoje zamkniętych drzwi wygląda na pół na pół. Zostanie wydaje się też bezpieczniejsze: przegrana po zmianie boli bardziej niż przegrana przy pierwszym wyborze, więc ludzie trzymają się swojego. W jednym badaniu wybór zmieniło tylko 13% z 228 uczestników.

66% u studentów to osobna pułapka. Zmienianie wyboru w dwóch próbach na trzy to tak zwane dopasowywanie prawdopodobieństwa (ang. probability matching) i wygrywa rzadziej niż zmienianie za każdym razem: w około 56% prób zamiast 67%. Studenci nauczyli się, że zmiana zwykle się opłaca, ale nie tego, że opłaca się zawsze.

Źródła